Mathe einfach erklärt
Potenzgesetze einfach erklärt (mit Beispielen & Tabelle)
Sobald in Mathe Exponenten auftauchen, brauchst du die Potenzgesetze – ab Klasse 8/9 beim Rechnen mit Potenzen, später in der Oberstufe bei Wachstum, Logarithmus und Ableitungen von x^n. Hier bekommst du alle Potenzgesetze einfach erklärt: als Übersichtstabelle, mit Beispielen, für negative und rationale Exponenten – und mit den Stolperfallen, an denen meine Schüler in der Online-Nachhilfe immer wieder hängen bleiben.
Kurz gesagt
Es gibt fünf zentrale Potenzgesetze. Bei gleicher Basis addierst du beim Multiplizieren die Exponenten (
a^m · a^n = a^{m+n}) und subtrahierst beim Dividieren (a^m : a^n = a^{m−n}). Beim Potenzieren einer Potenz multiplizierst du die Exponenten ((a^m)^n = a^{m·n}). Bei gleichem Exponenten darfst du die Basen verrechnen (a^n · b^n = (a·b)^n). Negative Exponenten sind Kehrwerte, Brüche im Exponenten sind Wurzeln.
Die Potenzgesetze in der Übersicht
Zur Erinnerung: In a^n heißt a die Basis und n der Exponent (oder die Hochzahl). a^n bedeutet, dass du a genau n-mal mit sich selbst multiplizierst, also 2^4 = 2·2·2·2 = 16.
| Gesetz | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Produkt, gleiche Basis | a^m · a^n = a^{m+n} | 2^3 · 2^4 = 2^7 = 128 |
| Quotient, gleiche Basis | a^m : a^n = a^{m−n} | 5^6 : 5^2 = 5^4 = 625 |
| Potenz einer Potenz | (a^m)^n = a^{m·n} | (3^2)^4 = 3^8 = 6561 |
| Produkt, gleicher Exponent | a^n · b^n = (a·b)^n | 2^3 · 5^3 = 10^3 = 1000 |
| Quotient, gleicher Exponent | a^n : b^n = (a:b)^n | 6^2 : 2^2 = 3^2 = 9 |
Wichtig ist die Unterscheidung: Drei Gesetze gelten bei gleicher Basis, zwei bei gleichem Exponenten. Genau diese Verwechslung ist die häufigste Fehlerquelle – dazu unten mehr.
Warum addiert man die Exponenten?
Das ist kein Auswendiglern-Trick, sondern folgt direkt aus der Definition. Schau dir 2^3 · 2^4 als ausgeschriebenes Produkt an:
(2·2·2) · (2·2·2·2) = 2·2·2·2·2·2·2 = 2^7
Du hast schlicht 3 + 4 = 7 Faktoren. Wer das einmal so durchdacht hat, vergisst die Regel nicht mehr. Beim Dividieren kürzt sich entsprechend etwas weg, deshalb wird subtrahiert.
Drei Spezialfälle, die du kennen musst
Diese drei Fälle wirken auf den ersten Blick wie Ausnahmen, ergeben sich aber sauber aus den Potenzgesetzen.
a hoch 0 ist immer 1
Für jede Basis a ≠ 0 gilt a^0 = 1. Das siehst du am Quotientengesetz:
a^n : a^n = a^{n−n} = a^0
Gleichzeitig ist a^n : a^n = 1, weil etwas durch sich selbst geteilt 1 ergibt. Also muss a^0 = 1 sein. Der Fall 0^0 ist eine Ausnahme und in der Schulmathematik nicht eindeutig definiert.
Negative Exponenten sind Kehrwerte
Ein Minus im Exponenten dreht die Potenz in den Nenner:
a^{−n} = 1/a^n
Beispiel: 2^{−3} = 1/2^3 = 1/8 = 0,125. Auch das folgt aus dem Quotientengesetz, etwa 2^2 : 2^5 = 2^{2−5} = 2^{−3}, und ausgeschrieben 4/32 = 1/8. Merke: Der negative Exponent macht den Wert nicht negativ, sondern bildet den Kehrwert.
Brüche im Exponenten sind Wurzeln
Ein rationaler Exponent ist eine andere Schreibweise für eine Wurzel:
a^{1/n} = ⁿ√a und allgemein a^{m/n} = ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m
Beispiele: 9^{1/2} = √9 = 3, 8^{1/3} = ³√8 = 2 und 8^{2/3} = ³√(8^2) = ³√64 = 4. Diese Schreibweise brauchst du spätestens in der Oberstufe, wenn du Wurzelfunktionen ableiten sollst – √x = x^{1/2} macht das überhaupt erst möglich. Wie das weitergeht, siehst du im Beitrag zu den Ableitungsregeln.
Die häufigsten Fehler meiner Schüler
1) Basis und Exponent verwechselt: Bei 2^3 · 2^4 werden manchmal die Basen multipliziert zu 4^7 – falsch, gleiche Basis bleibt, nur die Exponenten werden addiert: 2^7. 2) Addition zusammengefasst: a^2 + a^3 wird fälschlich zu a^5. Die Potenzgesetze gelten nur für Mal und Geteilt, niemals für Plus und Minus. 3) Negativer Exponent = negative Zahl: Aus 2^{−3} wird −8 gemacht statt 1/8. 4) Vorzeichen bei (−a)^n: (−2)^4 = 16, aber −2^4 = −16, weil ohne Klammer nur die 2 potenziert wird. Diese vier kosten in fast jeder Klausur Punkte.
Potenzgesetze kombiniert anwenden – ein längeres Beispiel
In Klausuren steht selten ein Gesetz allein. Vereinfache (2a^2 b)^3 · (a b^2)^{−1}:
- Innere Potenzen ziehen:
(2a^2 b)^3 = 2^3 · a^{2·3} · b^3 = 8a^6 b^3 - Negativen Exponenten auflösen:
(a b^2)^{−1} = 1/(a b^2) - Zusammenfassen (gleiche Basen):
8a^6 b^3 · 1/(a b^2) = 8 · a^{6−1} · b^{3−2} = 8a^5 b
Ergebnis: 8a^5 b. Mein Tipp aus dem Unterricht: Geh Gesetz für Gesetz vor und schreib jeden Schritt einzeln auf. Wer alles in einer Zeile machen will, vertauscht garantiert irgendwo ein Vorzeichen.
Merkregeln, die wirklich helfen
- Gleiche Basis → Exponenten verrechnen (mal wird plus, geteilt wird minus).
- Gleicher Exponent → Basen verrechnen (das ist die seltener genutzte, aber klausurrelevante Richtung).
- Hochzahl auf Hochzahl → multiplizieren (
(a^m)^n, nicht addieren). - Minus oben → Kehrwert, Bruch oben → Wurzel.
Wenn du diese vier Sätze sicher beherrschst, deckst du den allergrößten Teil der Aufgaben ab. Potenzen sind außerdem die Grundlage für Logarithmen und Exponentialfunktionen – wer sie früh sauber kann, tut sich später bei Wachstumsaufgaben und der Kurvendiskussion deutlich leichter. Eine Übersicht aller Themen findest du unter Mathe einfach erklärt.
Potenzgesetze sitzen noch nicht?
In der 1:1-Online-Nachhilfe rechnen wir genau deine Aufgaben durch – Schritt für Schritt, bis die Regeln automatisch sitzen.
Kostenloses ErstgesprächÜbung zum Schluss
Vereinfache (x^3)^2 · x^{−4} : x und gib das Ergebnis als eine einzige Potenz an. (Lösung: (x^3)^2 = x^6; dann x^6 · x^{−4} = x^{6−4} = x^2; und x^2 : x = x^{2−1} = x^1 = x.) Wenn du das ohne Spickzettel hinbekommst, sitzen die Potenzgesetze – und die brauchst du von Klasse 8 bis ins Studium praktisch überall.
Häufige Fragen
Was sind die Potenzgesetze?
Die Potenzgesetze sind feste Rechenregeln für Potenzen. Die drei wichtigsten: gleiche Basis multiplizieren heißt Exponenten addieren (`a^m · a^n = a^{m+n}`), dividieren heißt subtrahieren (`a^m : a^n = a^{m−n}`), und Potenz potenzieren heißt Exponenten multiplizieren (`(a^m)^n = a^{m·n}`).
Was ergibt eine Zahl hoch 0?
Jede Zahl außer 0 hoch 0 ergibt 1, also `a^0 = 1` für `a ≠ 0`. Das folgt direkt aus dem Quotientengesetz: `a^n : a^n = a^{n−n} = a^0 = 1`. Der Ausdruck `0^0` ist nicht eindeutig definiert.
Wie rechnet man mit negativen Exponenten?
Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert: `a^{−n} = 1/a^n`. Beispiel: `2^{−3} = 1/2^3 = 1/8 = 0,125`. Der negative Exponent macht aus der Potenz keinen negativen Wert, sondern einen Bruch.
Was bedeutet ein Bruch im Exponenten?
Ein rationaler Exponent ist eine Wurzel: `a^{1/n} = ⁿ√a` und allgemein `a^{m/n} = ⁿ√(a^m)`. Beispiel: `8^{1/3} = ³√8 = 2` und `9^{1/2} = √9 = 3`.
Darf man a^m + a^n zusammenfassen?
Nein. Die Potenzgesetze gelten nur für Multiplikation, Division und Potenzieren – nicht für Addition oder Subtraktion. `a^m + a^n` lässt sich nicht zu einer einzelnen Potenz zusammenfassen; hier kannst du höchstens ausklammern.
