Gleichungssysteme lösen: 3 Verfahren einfach erklärt

Gleichungssysteme lösen klingt nach drei verschiedenen Methoden, die du dir alle merken musst – aber eigentlich machen alle drei dasselbe: Sie machen aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine Gleichung mit nur einer Unbekannten. Ich bin Niru, Mathe-Nachhilfelehrer, und in diesem Beitrag bekommst du Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren mit je einem durchgerechneten Beispiel, die grafische Lösung über den Schnittpunkt zweier Geraden und die beiden Sonderfälle – plus eine Faustregel, wann welches Verfahren am schnellsten ist.

Kurz gesagt: Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, z. B. 2x + y = 7 und x − y = 2. Gelöst ist es durch ein Zahlenpaar (x | y), das beide Gleichungen erfüllt. Du findest es mit dem Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren – oder grafisch als Schnittpunkt der beiden Geraden. Welches Verfahren du nimmst, hängt nur davon ab, wie die Gleichungen gerade dastehen.

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) sind zwei Gleichungen, die gleichzeitig gelten sollen, mit zwei Unbekannten – meist x und y. Linear heißt: Beide Variablen kommen nur in der ersten Potenz vor, also kein x², keine Wurzel, kein x im Nenner.

Geometrisch beschreibt jede der beiden Gleichungen eine Gerade. Die Lösung des Systems ist das Zahlenpaar (x | y), das in beide Gleichungen passt – also der Punkt, in dem sich die beiden Geraden schneiden. Genau deshalb gibt es meist genau eine Lösung, manchmal aber auch keine oder unendlich viele.

Lage der Geraden	Anzahl der Lösungen
schneiden sich in einem Punkt	genau eine Lösung
parallel (verschieden)	keine Lösung
identisch (dieselbe Gerade)	unendlich viele Lösungen

Wann nehme ich welches Verfahren?

Die drei rechnerischen Verfahren liefern immer dasselbe Ergebnis – sie unterscheiden sich nur darin, wie viel Umformen du brauchst. Diese Faustregel gebe ich allen meinen Schülern mit:

Wie sehen die Gleichungen aus?	Bestes Verfahren
Eine Variable steht schon allein (y = ...)	Einsetzungsverfahren
Beide nach derselben Variable aufgelöst (y = ... und y = ...)	Gleichsetzungsverfahren
Beide in der Form ax + by = c	Additionsverfahren

Kurz: Erst gucken, wie die Gleichungen dastehen – dann das Verfahren wählen, das am wenigsten Arbeit macht.

Einsetzungsverfahren

Idee: Eine Gleichung nach einer Variable auflösen und diesen Ausdruck in die andere Gleichung einsetzen.

Beispiel:

(I) y = 2x − 1 (II) 3x + y = 9

Gleichung (I) ist schon nach y aufgelöst – perfekt. Ich setze 2x − 1 für y in (II) ein:

3x + (2x − 1) = 9 5x − 1 = 9 5x = 10 x = 2

Jetzt x = 2 in (I) einsetzen:

y = 2 · 2 − 1 = 3

Lösung: (x | y) = (2 | 3). Probe in (II): 3 · 2 + 3 = 9 ✓

Gleichsetzungsverfahren

Idee: Sind beide Gleichungen nach derselben Variable aufgelöst, kannst du die beiden rechten Seiten gleichsetzen.

Beispiel:

(I) y = 3x − 4 (II) y = −x + 8

Beide stehen nach y aufgelöst da, also setze ich gleich:

3x − 4 = −x + 8 | + x 4x − 4 = 8 | + 4 4x = 12 x = 3

x = 3 in (I) einsetzen:

y = 3 · 3 − 4 = 5

Lösung: (x | y) = (3 | 5). Probe in (II): −3 + 8 = 5 ✓

Übrigens ist das genau die rechnerische Version des Schnittpunkts zweier Geraden – dazu gleich mehr.

Additionsverfahren

Idee: Die Gleichungen so geschickt addieren (oder subtrahieren), dass eine Variable wegfällt. Manchmal musst du vorher eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren, damit die Koeffizienten passen.

Beispiel:

(I) 2x + 3y = 13 (II) 4x − 3y = 5

Die y-Glieder sind +3y und −3y – die heben sich beim Addieren auf. Ich rechne (I) + (II):

(2x + 4x) + (3y − 3y) = 13 + 5 6x = 18 x = 3

x = 3 in (I) einsetzen:

2 · 3 + 3y = 13 6 + 3y = 13 3y = 7 y = 7/3

Lösung: (x | y) = (3 | 7/3). Probe in (II): 4 · 3 − 3 · 7/3 = 12 − 7 = 5 ✓

Wenn die Koeffizienten nicht direkt passen, multiplizierst du erst: Aus x + 2y = 4 und 3x + y = 7 machst du z. B. die erste Gleichung mal −3, dann steht −3x da und fällt mit 3x weg. Mehr zum Umformen findest du im Beitrag zu Termen und Termumformungen.

LGS grafisch lösen

Jede Gleichung lässt sich in die Form y = mx + b bringen – also als Gerade zeichnen. Der Schnittpunkt beider Geraden ist die Lösung des Systems.

Beispiel: (I) y = 2x − 1 und (II) y = −x + 5

Beide Geraden zeichnest du über Steigung und y-Achsenabschnitt (Details im Beitrag zu linearen Funktionen). Sie schneiden sich bei (2 | 3). Zur Kontrolle rechnerisch (Gleichsetzungsverfahren):

2x − 1 = −x + 5 3x = 6 x = 2, y = 2 · 2 − 1 = 3

Die grafische Methode ist anschaulich, aber ungenau: Bei krummen Lösungen wie 7/3 liest du am Gitter nur Näherungen ab. Für exakte Werte nimmst du immer eines der drei Rechenverfahren.

Sonderfälle: keine und unendlich viele Lösungen

Nicht jedes LGS hat genau eine Lösung. Beim Rechnen merkst du das daran, dass beide Variablen verschwinden:

Keine Lösung (parallele Geraden):

(I) y = 2x + 1 (II) y = 2x + 4

Gleichsetzen: 2x + 1 = 2x + 4 → 1 = 4. Das ist eine falsche Aussage, also gibt es keine Lösung. Die Geraden haben dieselbe Steigung 2, aber verschiedene y-Achsenabschnitte – sie sind parallel.

Unendlich viele Lösungen (identische Geraden):

(I) y = 2x + 1 (II) 2y = 4x + 2

Teile (II) durch 2: y = 2x + 1 – das ist genau (I). Gleichsetzen ergibt 2x + 1 = 2x + 1 → 0 = 0, eine wahre Aussage. Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade, also sind unendlich viele Paare Lösung.

Lineare Gleichungssysteme – Aufgaben und Übung

Gleichungssysteme sind ein Klassiker der Klasse 8/9 und gehören zu den festen ZP10-Themen in Mathe (NRW). Übe am besten so: Gleichungen hinschreiben, zuerst mit der Tabelle oben das Verfahren entscheiden, rechnen – und immer die Probe in beiden Gleichungen machen.

Weitere passende Bausteine findest du im Mathe-erklärt-Überblick.

Fazit: Ein lineares Gleichungssystem zu lösen heißt, aus zwei Gleichungen eine mit nur einer Unbekannten zu machen. Steht eine Variable schon allein, nimm das Einsetzungsverfahren; stehen beide nach derselben Variable aufgelöst da, das Gleichsetzungsverfahren; stehen sie als ax + by = c, das Additionsverfahren. Grafisch ist die Lösung der Schnittpunkt zweier Geraden. Wähl bewusst das passende Verfahren, mach die Probe – und Gleichungssysteme werden zur sicheren Punktequelle.